V rovnostranném trojúhelníku jsou všechny úhly shodné a shodné (^>).
V rovnostranném trojúhelníku se každý medián shoduje s osou a nadmořskou výškou, které jsou nakresleny ze stejného vrcholu;
Průsečíky výšek, os, mediánů a odvěsnic rovnostranného trojúhelníku se shodují.
Středy vepsané a opsané kružnice rovnostranného trojúhelníku se shodují: bod (O);
V rovnostranném trojúhelníku jsou „dobře“ vyjádřeny délky všech prvků přes délku strany (A):
- Výška=střední=sektor: (h=frac>);
- Poloměr kružnice opsané: (R=frac>);
- Poloměr kružnice vepsané: (r=frac>);
- Oblast: (S=fracsqrt>);
- Obvod: (P=3a);
Definice rovnostranného trojúhelníku
Rovnostranný trojúhelník – trojúhelník se všemi stranami stejnými.
Jaké zvláštní vlastnosti jsou vlastní rovnostrannému trojúhelníku?
Vlastnosti rovnostranného trojúhelníku
Nemovitost 1. V rovnostranném trojúhelníku jsou všechny úhly shodné a shodné (^>)
Přirozené, že? Celkem tři stejné úhly (^>), což znamená každý (^>)
Nemovitost 2. V rovnostranném trojúhelníku se průsečíky výšek, os, mediánů a odvěsnic shodují – ukáže se, že jsou jedním a tím samým bodem. A tento bod se nazývá střed trojúhelníku (rovnostranný!).
proč tomu tak je? Pojďme se podívat rovnostranný trojúhelník.
Je rovnoramenný, bez ohledu na to, která jeho strana je brána jako základna – dá se říci, ze všech stran rovnoramenná.
To znamená, že jakákoliv nadmořská výška v rovnostranném trojúhelníku je také osou, střednicí a kolmicí!
V rovnostranném trojúhelníku nebylo (12) speciálních čar, jako v každém běžném trojúhelníku, ale pouze tři!
Střed rovnostranného trojúhelníku je středem vepsané a opsané kružnice a také průsečíkem výšek a mediánů.
Nemovitost 3. V rovnostranném trojúhelníku je poloměr kružnice opsané dvojnásobkem poloměru kružnice vepsané. (R=2cdot r)
Už by mělo být zřejmé, proč tomu tak je.
Podívejte se na obrázek: bod (O) je středem trojúhelníku.
To znamená, že (OB) je poloměr kružnice opsané (označíme ji (R)) a (OK) je poloměr kružnice vepsané (označíme ji (r)).
Ale bod (O) je také průsečíkem mediánů! Připomínáme, že mediány jsou děleny průsečíkem v poměru (2:1), počítáno od vrcholu.
Tedy (OB=2cdot OK), tedy (R=2cdot r).
Nemovitost 4. V rovnostranném trojúhelníku jsou délky všech prvků „studny“ vyjádřeny délkou strany.
Pojďme se o tom přesvědčit.
Výška rovnostranného trojúhelníku
Zvažte (Delta ABK) – je obdélníkový.
Poloměr kružnice opsané rovnostranného trojúhelníku
Chcete-li otevřít všechny učebnicové problémy, které se skrývají za modrými bannery (jako je tento), zaregistrujte se jednou:
Poloměr kružnice vepsané rovnostranného trojúhelníku
Už by to mělo být zcela jasné:
Chcete-li otevřít všechny učebnicové problémy, které se skrývají za modrými bannery (jako je tento), zaregistrujte se jednou:
Bonus 1. Články o jiných trojúhelnících
Podrobné informace o dalších trojúhelnících v následujících článcích:
A v našem učebnice pro přípravu na Jednotnou státní zkoušku z matematiky najdete podrobné informace o dalších odvětvích matematiky:
Bonus 2: Webináře o trojúhelnících, abyste se zdokonalili v řešení problémů
A v těchto videích z našeho přípravného kurzu na Jednotnou státní zkoušku z matematiky si můžete procvičit řešení problémů společně s naším lektorem Alexey Shevchukem.
Nejsou to jen webináře, „bla bla bla“ o teorii matematiky. Toto je analýza problémů v reálném čase.
Určitě se naučíte, jak řešit případné problémy na tato témata, pokud si je poslechnete.
Chcete z těchto webinářů vytěžit maximum? Vezměte si tužku a papír a rozhodněte se společně s Alexey Shevchukem.
Jednotná státní zkouška 6. Pravoúhlý trojúhelník: vlastnosti, Pythagorova věta, trigonometrie
Naprostá většina problémů v planimetrii je řešena prostřednictvím pravoúhlé trojúhelníky.
Jak to? Ostatně ne každý problém se zabývá trojúhelníky obecně, natož pravoúhlými.
V tomto videu se ale přesvědčíme, že tomu tak skutečně je. Faktem je, že vzácný komplexní problém je řešen jedinou větou – téměř vždy je rozdělen na několik menších problémů. A nakonec máme co do činění s trojúhelníky, často obdélníkovými.
V této lekci se naučíme, jak řešit problémy o pravoúhlých trojúhelníkech z jednotné státní zkoušky, naučíme se všechny potřebné věty a dotkneme se základů trigonometrie.
Jednotná státní zkouška 6. Rovnoramenný trojúhelník, libovolný trojúhelník
V tomto videu si připomeneme všechny vlastnosti rovnoramenných trojúhelníků a naučíme se, jak je aplikovat v problémech z Jednotné státní zkoušky. Naučíme se také řešit „obyčejné“ trojúhelníky. Ověřme si tvrzení z minulé lekce – řešení problémů se velmi často vede na několik pravoúhlých trojúhelníků.
Jednotná státní zkouška 16. Podobnost trojúhelníků. Problémy s důkazem
Takže úkol 16 profilu Jednotná státní zkouška. Podobnost trojúhelníků. Jedná se o jeden z nejtěžších úkolů v profilové Jednotné státní zkoušce.
Plné 3 body za tento problém: méně než 1 % absolventů! Hlavním problémem je vytváření důkazů. Body se zde odečítají za každý zmeškaný krok důkazu.
Často se nám například zdá zřejmé, že trojúhelníky na obrázku jsou podobné a zapomínáme uvést proč. A za to nám budou odečteny body.
V tomto videu se naučíte, jak používat trojúhelníkovou podobnost pro důkazy, označovat znaky podobnosti a dokazovat každý závěr.
Naučíte se správně zapisovat řešení úlohy, zkracovat poznámky, abyste neztráceli čas zapisováním všech svých myšlenek nebo celých názvů vět.
Také se naučíte používat podobnost trojúhelníků nejen pro důkazy, ale i pro výpočetní úlohy.
