Pokud se těleso po skončení působení vnějších sil vrátí do předchozího tvaru a objemu, pak deformaci a těleso samotné nazývám elastický. Pokud po skončení působení vnějších sil zůstane těleso deformované, pak se nazývá deformace a těleso samotné plastickýNebo neelastický.
Příklady elastické deformace:
- Stlačený balónek se při uvolnění roztáhne.
- Pokud gumu ohnete a poté uvolníte, narovná se.
- Pod chodcem se lomí most z prken přes potok. Když ale chodec stoupne na zem, prkno se narovná.
Příklady plastické deformace:
- Zmačkaný papír zůstává po uvolnění zmačkaný.
- Plastelína zachovává tvar z ní vyřezané postavy.
- Ohnutá kovová deska zůstane ohnutá.
Hookův zákon
Při elastické deformaci existuje vztah mezi elastickou silou vyplývající z deformace a prodloužením deformovaného tělesa. Tento vztah jako první objevil anglický vědec Robert Hooke.
Modul pružné síly vznikající při deformaci tělesa je úměrný jeho prodloužení.
x — absolutní prodloužení (protažení), k — koeficient tuhosti karoserie.
Absolutní prodloužení je určeno vzorcem:
l – počáteční délka těla, l — délka deformovaného těla, ∆l – změna délky těla.
Koeficient tuhosti karoserie je určen vzorcem:
E — modul pružnosti (Youngův modul). Každá látka má svůj vlastní modul pružnosti. S – průřezová plocha těla.
Důležité! Hookův zákon nefunguje, pokud byla deformace plastická.
Příklad č. 1. Působením síly 3N se pružina prodlouží o 4 cm Najděte modul síly, pod jehož vlivem bude prodloužení pružiny 6 cm.
Podle třetího Newtonova zákona bude modul pružné síly roven modulu síly působící na pružinu. V obou případech bude konstantní pouze tuhost pružiny. Vyjádřeme to z Hookova zákona a aplikujme to na každý z případů:
Srovnejme pravé strany vzorců:
Vyjádřeme a vypočítejme elastickou sílu, která nastane, když je prodloužení pružiny 6 cm:
Pokud je pružina natažena dvěma opačnými silami, pak moduly pružné síly a moduly těchto sil jsou si navzájem stejné:
Pokud je břemeno zavěšeno na pružině, pružná síla bude rovna gravitační síle působící na toto těleso:
Pokud jsou pružiny zapojeny paralelně, jejich celkový koeficient tuhosti se bude rovnat součtu koeficientů tuhosti každé z těchto pružin:
Pokud jsou pružiny zapojeny do série, jejich převrácená hodnota celkového koeficientu tuhosti se bude rovnat součtu převrácených koeficientů tuhosti pro každou z pružin:
Příklad č. 2. Dvě pružiny jsou zapojeny paralelně. Tuhost jedné z pružin je 1000 Nm, druhá – 4000 Nm. Když bylo na pružinách zavěšeno břemeno, prodloužily se o 5 cm. Zjistěte tíhovou sílu břemene.
Převedeme centimetry na metry: 5 cm = 5∙10 –2 m.
Napišme Hookův zákon s přihlédnutím k paralelnímu spojení pružin:
Modul tíže podle třetího Newtonova zákona se rovná modulu pružnosti. Odtud:
Zadání jednotné státní zkoušky-F-DV2023-4
Malá hmota spočívající na hladkém vodorovném stole je spojena pružinou se stěnou. Zatížení se mírně posune z rovnovážné polohy podél osy pružiny a uvolní se z klidu, načež začne oscilovat a pohybuje se podél osy pružiny, rovnoběžně s kterou je osa nasměrována Ox. Tabulka ukazuje hodnoty souřadnic zatížení х v různých časech t. Vyberte všechna správná tvrzení o výsledcích tohoto experimentu na základě údajů obsažených v tabulce. Absolutní chyba měření souřadnic je 0,1 cm, měření času je 0,05 s.
1) V čase 1,50 s je zrychlení zátěže maximální. 2) V okamžiku času 0,50 s je kinetická energie zátěže maximální. 3) Modul síly, kterým pružina působí na zatížení, je v čase 1,00s menší než v čase 0,25s. 4) Perioda kmitání zátěže je 1s. 5) Frekvence kmitání zátěže je 0,5 Hz.
Algoritmus řešení:
- Ověřte pravdivost tvrzení 1. K tomu je nutné stanovit závislost zrychlení tělesa kmitajícího na pružině na jejích souřadnicích.
- Ověřte pravdivost tvrzení 2. K tomu je nutné stanovit závislost kinetické energie tělesa kmitajícího na pružině na jejích souřadnicích.
- Ověřte si pravdivost tvrzení 3. K tomu je třeba napsat vzorec ukazující vztah mezi silou působící na kmitající těleso a souřadnicí tohoto tělesa. Poté najděte silové moduly pro zadané časové hodnoty a porovnejte je.
- Zkontrolujte pravdivost tvrzení 4. K tomu je nutné definovat periodu kmitání, stanovit periodu kmitání tělesa a porovnat ji s hodnotou uvedenou ve výroku 4.
- Zkontrolujte pravdivost tvrzení 5. K tomu je nutné definovat frekvenci kmitů, stanovit frekvenci kmitů tělesa a porovnat ji s hodnotou uvedenou ve výroku 5.
- Odpověď napište jako posloupnost čísel, neoddělujte ji interpunkčními znaménky nebo mezerami.
Ověříme pravdivost tvrzení 1, podle kterého je v okamžiku času 1,50 s maximální zrychlení zátěže. Zrychlení zátěže kmitající na vodorovné pružině lze vyjádřit z 2. Newtonova zákona (vezmeme v úvahu, že na těleso působí pružná síla):
Zrychlení se tedy rovná:
Poměr tuhosti pružiny k hmotnosti zatížení je konstantní, protože tyto veličiny se nemění. V důsledku toho je zrychlení úměrné souřadnici kmitajícího tělesa. A pokud je v okamžiku času 1,50 s souřadnice tělesa (odchylka od rovnovážné polohy) maximální, pak je maximální i zrychlení. Podle údajů v tabulce je však v tomto okamžiku souřadnice tělesa 0,0 cm, proto je tvrzení 1 nesprávné.
Ověříme pravdivost tvrzení 2, podle kterého je v okamžiku času 0,50 s kinetická energie zátěže maximální. Celková mechanická energie tělesa se rovná součtu jeho potenciální a kinetické energie:
Když je kinetická energie zátěže maximální, potenciální energie je 0. A potenciální energie tělesa kmitajícího na pružině je určena vzorcem:
Potenciální energie bude rovna 0 pouze v případě, že v daném časovém okamžiku bude souřadnice tělesa rovna 0 (je v rovnovážné poloze). V důsledku toho bude kinetická energie zátěže v okamžiku času 0,50 s maximální, pokud je souřadnice tělesa v tomto čase 0. Podle údajů v tabulce tomu tak skutečně je. Proto je tvrzení 2 pravdivé.
Ověříme pravdivost tvrzení 3, podle kterého modul síly, kterým pružina působí na zatížení, je v čase 1,00s menší než v čase 0,25s.
Zapišme si Hookův zákon:
V okamžiku času 1,00 s je souřadnice zatížení –3 cm Vzhledem k tomu, že při těchto výpočtech potřebujeme porovnat pouze 2 moduly síly, nebudeme převádět jednotky měření na SI – pro srovnání stačí, aby jednotky změny jsou stejné. Proto je modul pružné síly v čase 1,00 roven:
V okamžiku 0,25 s je souřadnice zatížení 2,1 cm, pružná síla je tedy rovna:
Podle všeho, 3k více 2,1k. Proto je tvrzení 3 nepravdivé.
Ověřte si pravdivost tvrzení 4, podle kterého je perioda kmitání zátěže 1s. Perioda je doba potřebná k dokončení jedné kompletní oscilace. Označuje se písmenem T. Jednotkou měření je sekunda (s). Zátěž dokončí jednu kompletní oscilaci, když se vrátí do své předchozí polohy, přičemž prošla všemi 4 fázemi oscilace. Pokud se tedy zatížení začalo pohybovat se souřadnicí 3,0, která se rovná maximální odchylce od rovnovážné polohy, pak perioda bude doba, kterou potřebuje k překonání rovnovážné polohy, odchýlení maximální vzdálenosti v opačné poloze a vrátit se do své původní polohy, procházet bodem rovnováhy.
Z tabulky je patrné, že polovina kmitavého pohybu zátěže byla dokončena za 1,00 s, kdy došlo k vychýlení maximální vzdálenosti v opačném směru. Proto bude trvat stejně dlouho, než se zátěž vrátí do původní polohy. Celkem bude doba 1 úplného kmitu neboli perioda kmitu 2 s. Proto je tvrzení 4 nepravdivé.
Ověřte si pravdivost tvrzení 4, podle kterého je kmitání zátěže 0,5 Hz. Frekvence je počet oscilací provedených za jednotku času. Označuje se jako ν („nu“). Jednotkou měření je 1/sekunda nebo sec–1 nebo hertz (1/s nebo s–1 nebo Hz). Frekvence se rovná převrácené hodnotě periody oscilace:
Výše jsme zjistili, že perioda je 2 s. Frekvence oscilací je tedy rovna:
Proto je tvrzení 5 pravdivé.
Zapisujeme odpověď: 25.
Zadání jednotné státní zkoušky-F-DV2023-3
- Zaznamenejte počáteční data. V případě potřeby převeďte měrné jednotky na SI.
- Napište vzorec pro potenciální energii pružiny.
- Použijte psaný vzorec na případy 1 a 2.
- Převeďte vzorec a vyjádřete požadovanou hodnotu (modul změny potenciální energie natažené pružiny).
- Nahraďte známá data a proveďte výpočty.
- Protažení pružiny v experimentu 1: x1 = 2 cm.
- Potenciální energie pružiny při natažení o 2 cm: Ep1 = 2 J.
- Změna napětí pružiny ve druhém experimentu (ve srovnání s napětím v experimentu 1): ∆x = 0,5 cm.
∆x = 0,5 cm = 0,5∙10 –2 m
Potenciální energie pružiny je určena vzorcem: Aplikujme tento vzorec na případy 1 a 2: Modul změny potenciální energie natažené pružiny bude roven modulu rozdílu potenciálních energií v experimentech 2 a 1, v tomto pořadí: Z tohoto vzorce zůstává neznámé pouze napětí pružiny v experimentu 2 a tuhost pružiny. Protažení pružiny v experimentu 2 lze vypočítat jako rozdíl mezi protažením pružiny v experimentu 1 a změnou v protažení: Tuhost pružiny můžeme vyjádřit ze vzorce pro potenciální energii natažené pružiny pro experiment 1: Dosaďte do výsledného vzorce: Dosaďte známá data a proveďte výpočty: Odpověď: 0,875
Úkol E17590
Na obrázku je graf závislosti modulu pružné síly na prodloužení pružiny. Jaká je tuhost pružiny?
Síla elasticity je široce používána v technologii. Tato síla vzniká v pružných tělesech při jejich deformaci. Deformace je změna tvaru tělesa pod vlivem působících sil.
Typy deformací
Deformace je změna tvaru nebo velikosti těla.
Existuje několik typů deformace:
- posun;
- kroucení;
- ohyb;
- komprese/prodloužení;
Smyková deformace nastává, když se některé části těla pohybují vzhledem k jiným částem těla. Působíme-li vodorovnou silou na horní část kartonové krabice naplněné různými předměty, způsobíme posunutí horní části krabice vzhledem k jejímu dnu.
Stlačování nebo natahování si lze snadno představit na příkladu obdélníkového kusu tenké pryže. Tato deformace se využívá např. u elastických pásů na oděvy.
Příklady ohybu a kroucení jsou na obrázku 1. Plastové pravítko deformované ohybem je na obrázku 1. 1a a na obrázku XNUMXb – stejné pravítko deformované torzí.
V deformovatelném tělese vznikají síly, které jsou elektromagnetické povahy a zabraňují deformaci.
Pružné protažení
Podívejme se blíže na deformaci v tahu na příkladu pružiny.
Na nějakou plochu přiložíme pružinu (obr. 2). Obrázek vlevo ukazuje počáteční délku (L_) pružiny.
Nyní na pružinu zavěsíme závaží. Pružina bude mít délku (L) uvedenou na obrázku vpravo.
Porovnejme délku zatížené pružiny s délkou volně visící pružiny.
[velké L_ + delta L = L]
Najdeme rozdíl (rozdíl) mezi délkami volně visící pružiny a pružiny se zátěží. Chcete-li to provést, odečtěte hodnotu (L_) od obou stran této rovnice.
( L_ left(text right) ) – počáteční délka pružiny;
( L left(text right) ) – konečná délka natažené pružiny;
( Delta L left(text right) ) – kus délky, na který byla pružina natažena;
Hodnota (Delta L) se nazývá prodloužení pružiny.
Někdy se počítá relativní prodloužení. Toto prodloužení se často vyjadřuje jako desetinný zlomek. Nebo zlomek, jehož jmenovatelem je číslo 100 – takový zlomek se nazývá procento.
Poznámka: Poměr je zlomek. Relativní znamená zlomkový.
(varepsilon) je poměr (proporce) natažení pružiny k její počáteční délce. Měří se v procentech a nazývá se relativní prodloužení.
Výpočet pružné síly
Pokud pružinu natahujeme ručně, můžeme si všimnout, že čím více pružinu natahujeme, tím více odolává.
To znamená, že prodloužení pružiny je spojeno se silou, která tomuto prodloužení odolává.
Samozřejmě, pokud je pružina dostatečně elastická, aby odolala. Například různobarevná hračková pružina (obr. 3), vyrobená z plastu, prakticky neodolá natažení, čímž se její délka zdvojnásobí.
Hookův zákon
Anglický fyzik Robert Hooke, který žil v druhé polovině 17. století, zjistil, že odporová síla pružiny a její prodloužení jsou přímo úměrné. Sílu, kterou pružina odolává deformaci (F_>), nazval silou pružnosti.
[velký rámeček = k cdot Delta L>]
Tento vzorec se nazýval Hookeův zákon pružnosti.
( F_> left( H right) ) – elastická síla;
( Delta L left(text right) ) – prodloužení pružiny;
( displaystyle k left(frac> right) ) – koeficient tuhosti (elasticity).
Jaké deformace se nazývají malé
Hookeův zákon se používá pro malá prodloužení (deformace).
Pokud je deformační síla odstraněna a těleso se vrátí do původního tvaru (velikosti), pak se deformace nazývají malé.
Pokud se těleso nevrátí do původního tvaru, nelze deformaci nazvat malou.
Jak vypočítat koeficient tuhosti
Závaží připevněné ke konci pružiny ji napíná (obr. 4). Změříme prodloužení pružiny a vytvoříme silovou rovnici pro průmět sil na svislou osu. Hmotnost břemene je namířena proti ose a pružná síla proti ní směřuje podél osy.
Protože se síly navzájem ruší, je na pravé straně rovnice nula.
[velké F_> – m cdot g = 0]
Dosadíme do této rovnice výraz pro pružnou sílu
[ velké k cdot Delta L — m cdot g = 0 ]
K oběma dílům přičteme hmotnost břemene a vydělíme naměřenou změnou délky (Delta L) pružiny. Získáme výraz pro koeficient tuhosti:
Spojujeme dvě stejné pružiny
V učebnicích fyzikálních úloh a učebnicích pro přípravu na jednotnou státní zkoušku jsou úlohy, ve kterých jsou stejné pružiny zapojeny do série nebo paralelně.
Paralelní spojení pružin
Obrázek 5a ukazuje volně visící pružinu. Zatížíme ho (obr. 5b), natáhne se o kus (Delta L). Spojme dvě takové pružiny paralelně a doprostřed příčky zavěsíme zátěž (obr. 5c). Obrázek ukazuje, že struktura dvou paralelních pružin se působením zatížení natáhne méně než jedna taková pružina.
Porovnejme natažení dvou stejných pružin spojených paralelně s natažením jedné pružiny. Na pružiny zavěsíme jedno závaží (mg).
[ velké k_ cdot Delta L = m cdot g ]
Dvě paralelní pružiny:
[ velké k_> cdot Delta L cdot frac= m cdot g ]
Protože jsou pravé strany rovnic stejné, budou si rovny i levé strany:
[ velké k_> cdot Delta L cdot frac= k_ cdot Delta L ]
Obě strany rovnice obsahují hodnotu (Delta L). Vydělme jím obě strany rovnice:
Vynásobme obě strany výsledné rovnice číslem 2:
Koeficient tuhosti (k_>) dvou paralelně zapojených pružin se oproti jedné takové pružině zdvojnásobil
Sériové zapojení pružin
Obrázek 6a znázorňuje volně visící pružinu. Zatížená pružina (obr. 6b), natažená na délku (Delta L). Nyní vezmeme dvě takové pružiny a zapojíme je do série. Na tyto (obr. 6c) pružiny zavěsíme zátěž.
Praxe ukazuje, že struktura dvou pružin zapojených do série působením zatížení se natáhne více než jedna pružina.
Každá pružina v řetězu je podřízena hmotnosti nákladu. Vlivem váhy se pružina natáhne a beze změn přenese tuto váhu dále po řetězu. Natahuje další jaro. A to se zase protáhne o stejnou míru (Delta L).
Poznámka: Vlivem síly se pružina natahuje a beze změn přenáší tuto tažnou sílu dále po řetězu
Rýže. 6. Systém sestávající ze dvou stejných pružin zapojených do série, více než jedna pružina je deformovaná
Porovnejme natažení dvou stejných pružin zapojených do série a natažení jedné pružiny. V obou případech zavěsíme na pružiny stejnou hmotnost (mg).
[ velké k_ cdot Delta L = m cdot g ]
Dvě pružiny v sérii:
[velké k_> cdot Delta L cdot 2 = m cdot g ]
Protože jsou pravé strany rovnic stejné, budou si rovny i levé strany:
[ velké k_> cdot Delta L cdot 2 = k_ cdot Delta L ]
Obě strany rovnice obsahují hodnotu (Delta L). Vydělme jím obě strany rovnice:
Vydělte obě strany výsledné rovnice číslem 2:
Koeficient tuhosti (k_>) dvou sériově zapojených pružin bude poloviční ve srovnání s jednou takovou pružinou
Potenciální energie stlačené nebo natažené pružiny
Pružina stlačená (levá část obr. 7) nebo natažená (pravá část obr. 7) o délku (Delta L) má potenciál vrátit se do původního stavu a zároveň vykonávat práci, např. pohybovat náklad. V takových případech fyzici říkají, že pramen má potenciální energii.
Tato energie závisí na konstantě pružiny a na jejím prodloužení (nebo zkrácení při stlačení).
Čím větší je tuhost (elasticita) pružiny, tím větší je její potenciální energie. Zvětšením prodloužení pružiny získáme zvýšení její potenciální energie podle kvadratického zákona:
= frac cdot left (Delta L vpravo)^ >]
left( text right)) – potenciální energie stlačené nebo natažené pružiny;
( Delta L left(text right) ) – prodloužení pružiny;
( displaystyle k left(frac> right) ) – koeficient tuhosti (elasticity) pružiny.
